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3eMathématiquesCycle 4

Le théorème de Thalès · 3e

Comment mesurer la hauteur d’un arbre sans y grimper ? Avec deux droites parallèles et le théorème de Thalès. Il permet de calculer des longueurs dans des triangles « agrandis » ou « réduits », et sa réciproque prouve que deux droites sont parallèles.

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L’essentiel à retenir

  • Il faut deux droites sécantes en A et deux droites parallèles.
  • Si (MN) // (BC), alors AM/AB = AN/AC = MN/BC.
  • On calcule la longueur inconnue avec le produit en croix.
  • La réciproque sert à prouver que deux droites sont parallèles.
  • Pour la réciproque, les points doivent être alignés dans le même ordre.

La fiche de la leçon

Programme : Cycle 4 · Espace et géométrie · Théorème de Thalès et sa réciproque

La configuration de Thalès

Deux droites (BM) et (CN) se coupent en un point A. Les points A, M, B sont alignés, ainsi que les points A, N, C, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

  • Triangles emboîtés : M est sur [AB] et N sur [AC]. Le petit triangle AMN est une réduction du grand triangle ABC.
  • Configuration « papillon » : M et N sont de l’autre côté de A. Les triangles AMN et ABC sont opposés par le sommet A.

Le théorème

Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors les longueurs des côtés des triangles AMN et ABC sont proportionnelles :

  • AM/AB = AN/AC = MN/BC.
  • En haut, les côtés du triangle AMN ; en bas, les côtés correspondants du triangle ABC.

Calculer une longueur pas à pas

  • Données : (MN) // (BC), AM = 3 cm, AB = 6 cm, AN = 4 cm, BC = 10 cm.
  • 1. J’écris : les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et (MN) // (BC), donc d’après le théorème de Thalès, AM/AB = AN/AC = MN/BC.
  • 2. Je remplace : 3/6 = 4/AC = MN/10.
  • 3. Je calcule AC avec le produit en croix : AC = 6 × 4 ÷ 3 = 8 cm.
  • 4. Je calcule MN : MN = 3 × 10 ÷ 6 = 5 cm.

La réciproque : prouver que deux droites sont parallèles

Si les points A, M, B et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre et si AM/AB = AN/AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

  • Exemple : AM = 2, AB = 5, AN = 3, AC = 7,5. AM/AB = 2/5 = 0,4 et AN/AC = 3/7,5 = 0,4. Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre : (MN) // (BC).
  • Si les rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles : avec AM/AB = 2/5 = 0,4 et AN/AC = 3/7 ≈ 0,43, (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

Les pièges à éviter

  • Appliquer le théorème sans avoir vérifié que les droites sont parallèles.
  • Mélanger les triangles dans les rapports : en haut toujours le même triangle (AMN), en bas toujours l’autre (ABC).
  • Écrire AM/MB au lieu de AM/AB : on compare les côtés des triangles, à partir du sommet A.
  • Oublier, pour la réciproque, de vérifier que les points sont dans le même ordre.

Mini-quiz : es-tu prêt pour le contrôle ?

Touche la bonne réponse.

  1. (MN) // (BC), AM = 3 cm, AB = 6 cm et AN = 4 cm. Combien mesure AC ?

  2. (MN) // (BC), AM = 3 cm, AB = 6 cm et BC = 10 cm. Combien mesure MN ?

  3. Comment doivent être les droites (MN) et (BC) pour appliquer le théorème de Thalès ?

  4. Quel théorème permet de prouver que deux droites sont parallèles ?

Questions à poser à l’oral, en voiture

Pas besoin de cahier : le parent lit la question, l’enfant répond à voix haute.

Que faut-il pour appliquer le théorème de Thalès ?
Deux droites sécantes et deux droites parallèles.
Si (MN) est parallèle à (BC), quelle égalité écrit-on ?
AM sur AB égale AN sur AC égale MN sur BC.
AM = 3, AB = 6 et BC = 10. Combien mesure MN ?
5, car AMN est deux fois plus petit.
À quoi sert la réciproque du théorème de Thalès ?
À prouver que deux droites sont parallèles.
Comment s’appelle la configuration où les triangles sont opposés par le sommet ?
La configuration papillon.

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